《电路原理》复习笔记+讲解（石群-邱关源）[第七章下]

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第七章（下） 一阶电路和二阶电路的时域分析

二阶微分方程的解法

二阶动态方程  

其中    为常数（与电路结构和参数有关），特征方程：

二阶动态响应  

强制响应  ：取决于外加激励  。

自由响应  ：由特征方程根    和    确定，取决于电路参数。

常系数齐次线性方程

（为常数）

特征方程：

根据Δ取值不同，分为下面3个情况：

            ① Δ>0实根  

            ② Δ=0重根  

            ③ Δ<0共轭复根  

常系数非齐次线性方程

非齐次的通解 = 齐次的通解 + 非齐次的一个特解

特解形式：  

  是作为特征根的重复次数：

可化为常系数的变系数方程

二阶电路的零输入响应

以书上一道题为例：

我们分析一下不同的情况对应的特征根和方程的解：（可以看到究竟是哪一种情况只与）

接下来我们假定Δ>0，讲解一下求解思路：

二阶不考懒得做笔记了，反正类似上面，如果全响应，直流激励下，特解就等于无穷时刻稳态值。

一阶电路的阶跃响应

单位阶跃函数

定义

我们引入一个单位阶跃函数：

作用

可以利用单位阶跃函数来表示复杂的信号：

不管多复杂的信号，都能拆成好几段阶跃信号叠加而成。阶跃函数跳变点左边全是0，所以每次新增一段阶跃信号，只有跳变点右边的部分会叠加进来；左边都是0，完全不会改动之前已经拼好的波形。

例如：

一阶电路的阶跃响应

定义：激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。

例题：

先用阶跃函数的线性组合表示激励，再求单位阶跃函数对应的响应，最后根据齐次性和叠加性得到实际响应。

一阶电路的冲激响应

单位冲激函数

单位冲激函数  ：  

可以用如下理解方式:

单位冲激函数可以扩大k倍，也可以有像上面阶跃函数那种延迟作用，此处略过。

单位冲激函数的性质：

冲激函数对时间的积分是阶跃函数，阶跃函数对时间求导得到冲激函数。（后者已证明。前者证明：冲激函数在<0-时，积分为0，在>0+时，积分为1，所以完全符合阶跃函数定义。）

冲激函数的筛分性（取样性）  

推广有：  

一阶电路的冲激响应

定义：激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。

此处我们仔细思考，如果是给零状态RC电路输入冲激电流，那么不符合换路定则，算出的电压在0-为0，在0+却有突变（给零状态RL电路输入冲激电压同理）。

所以我们要分两个时间段来考虑冲激响应：

动态元件初始储能（跃变）和

由初始储能引起的零输入响应。（因为此时激励为0了）

阶跃响应和冲激响应关系

对于线性时不变系统而言，输入做微分、积分，输出同步做微分、积分。

基础输入信号间的微积分关系

冲激是阶跃的导数：

阶跃是冲激的积分：

设输入→响应，→响应

输出信号间有相同的微积分关系

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冲激响应是阶跃响应的导数：

阶跃响应是冲激响应的积分：

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