01 Clarke变换推导（三相静止坐标与两相静止坐标换算）：
通过三相静止坐标系（ABC）和两相静止坐标系（αβ）的换算，可以实现电机三相电源矢量在空间上的解耦，利用两相坐标系，可以解决电机矢量控制问题。
图一：三相静止坐标系与两相静止坐标系转换
在三相静止坐标系中，为ABC三相电源矢量的矢量和，其在ABC轴上的投影分别为：
在αβ轴上的投影分别为：
由ABC轴和αβ轴式子对比可得：
将式子进行展开可得到
……式（1）
将式子进行展开可得到
……式（2）
用式（1）-式（2）得
……式（3）
对式（3）进行化简，得
……式（4）
由上式
可得到
即是
……式（5）
又因为
所以可得
……式（6）
将式（6）代入式（5）可得
进一步化简可得
所以三相坐标变换到两相坐标的公式为：
……式（7）
……式（8）
02park变换推导（两相静止坐标到两相旋转坐标转换）：
两相旋转坐标系（qd）和两相静止坐标系（αβ）的换算，实现电机三相电机旋转磁场矢量在空间上的解耦，利用两相静止坐标系，解决电机矢量控制问题。
图二：两相静止坐标系与两相旋转坐标系转换
如上图所示，在静止坐标系（αβ）中，旋转矢量在αβ轴上的投影分别为：
……式（9）
……式（10）
在旋转坐标系（qd）中，旋转矢量在qd轴上的投影分别为：
……式（11）
……式（12）
将静止两相坐标系（αβ）变换到两相旋转坐标系（dq）称之为park变换，分别将式（11）和式（12）展开得：
……式（13）
……式（14）
由式（9）和式（10）可知，将式（9）两边同时乘以，式（10）两边同时乘以可得：
……式（15）
……式（16）
将式（15）+式（16）可得
整理得
……式（17）
对比式（13）和式（17）的右边可得，两式右边相等，所以可以得出两式左边也相等，即是
……式（18）
将式（9）两边同时乘以，式（10）两边同时乘以可得：
……式（19）
……式（20）
将式（20）-式（19）可得
整理得
……式（21）
对比式（21）和式（14）的右边可得，两式右边相等，所以可以得出两式左边也相等，即是
……式（22）
所以得到两相静止坐标αβ变换到两相旋转坐标的公式为：
……式（18）
……式（22）
clarke逆变换的推导（两相静止坐标系（αβ）变换到三相静止坐标系（ABC））
03 clarke逆变换的推导（两相静止坐标系（αβ）变换到三相静止坐标系（ABC））：
由图一可知，在αβ轴上的投影为：
……式（23）
……式（24）
在ABC轴上的投影分别为：
……式（25）
……式（26）
……式（27）
将式子进行展开可得到
……式（1）
将式子进行展开可得到
……式（2）
对比式（23）和式（25）可得，两式右边相等，所以两式左边也相等，即是
……式（28）
将式（23）两边同时乘以，式（24）两边同时乘以，可得
……式（29）
……式（30）
将式（29）+式（30）得
整理得
……式（31）
对比式（1）与式（31）可得，两式右边相等，所以两式左边也相等，即是
化简得
即是
……式（32）
将式（29）-式（30）得
整理得
……式（33）
对比式（2）与式（32）可得，两式右边相等，所以两式左边也相等，即是
化简得
即是
……式（34）
所以将两相静止坐标系转换到三相静止坐标系公式为：
……式（28）
……式（32）
……式（34）
04 park逆变换推导（两相旋转坐标系（dq）与两相静止坐标系（αβ）转换）：
如图二所示，在静止坐标系（αβ）中，旋转矢量在αβ轴上的投影分别为：
……式（9）
……式（10）
在旋转坐标系（qd）中，旋转矢量在qd轴上的投影分别为：
……式（11）
……式（12）
将式（11）和式（12）展开得：
……式（13）
……式（14）
Park逆变换即是两相旋转坐标系转换到两相静止坐标系，将式（13）两边同时乘以，
式（14）两边同时乘以得
……式（35）
……式（36）
将式（35）-式（36）得
化简得
……式（37）
又由三角函数公式有：
所以式（37）化简为
……式（38）
对比式（38）与式（9），两式右边相等，则左边也相等，所以
……式（39）
将式（13）两边同时乘以，式（14）两边同时乘以得
……式（40）
……式（41）
将式（40）+式（41）得
化简得
……式（42）
又由三角函数公式有：
所以式（42）可以化简为
……式（43）
对比式（10）与式（43），两式右边相等，则左边也相等，所以有
……式（44）
所以两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系公式为：
……式（39）
……式（44）
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