脉冲轴凸轮曲线算法——西门子S7-1200（五次曲线加直线）

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随着现代智能装备制造领域的快速发展，机械电子化、硬件软件化成为当今工业发展趋势。传统机械凸轮结构简单可靠，但机械凸轮制造的要求和成本高，其形状和轨迹固定，设计调整困难，并且升级机械凸轮、修改凸轮曲线需要改件，改件涉及大量库存，并且周期长、难度大。为解决机械凸轮存在的问题，提出将电子技术与机械凸轮结合，通过构造凸轮曲线模拟机械凸轮的运动轨迹，达到与机械凸轮系统相同的主、从轴之间的相对运动，电子凸轮应运而生。电子凸轮具有精度高、速度快、稳定性好、成本低等优点，广泛应用在包装、印刷、木工、锂电、硅晶等先进制造行业，例如：枕式包装机刀轴与膜轴的运动、飞剪设备刀轴与材料轴的运动、电池方型卷绕机等。电子凸轮逐渐取代机械凸轮，成为工业发展的趋势，在自动化领域有重要意义。

一、曲线算法

本项目选择五种基本的曲线，即直线、梯形曲线、三次曲线、五次曲线、S形曲线作为研究对象进行相关曲线算法的研究，通过曲线公式对曲线的位移、速度、加速度、加加速度曲线进行计算与仿真。

（1）、直线算法

对于涉及到匀速运动、精度要求不高且对运动轨迹要求较少的工业场合，例如：物料处理系统中使用传送带运输物料、直线车削加工、装配线上器件的输送以及直线焊接等场合。这些场合都涉及到直线算法的应用，直线的运动状况是匀速运动，速度曲线是一条平行于X轴的直线，速度恒定，位移均匀增加。直线算法公式内容如下：

（2）、五次曲线算法

对于一些需要频繁启停且要缓起缓停的高速运动场合，例如：机械臂快速精准的定位运动、产品装载设备、工业机器人高精度高速度运动和医疗机器人精确平稳手术作业等场合，这些场合都涉及到五次曲线算法的应用。五次曲线的运动状况是加速度没有冲击现象，曲线弯曲程度较大，五次曲线适合模拟一些复杂的运动曲线。五次曲线算法公式内容如下：

二、MATLAB仿真效果

（1）、直线的仿真

直线算法的公式为，计算直线需要对直线的位移值和时间参数进行计算，设置初始位置为，终点位置为，总位移设为，计算总位移量，直线的速度值恒定，设速度值为，运动时间设为，计算时间。设当前点位对应的时间为，根据直线算法公式，对直线的位移和速度进行计算。

在MATLA软件中，设置直线轨迹始末时刻的时间、初始的位置和速度值，对直线公式设置合适的步长，通过直线算法的公式对直线轨迹的输出值进行计算，使用MATLAB软件的subplot图像规划功能，对直线的位移图像和速度图像的分布进行合理的规划，使用MATLAB软件的plot绘图功能进行绘图操作，将直线图像直观地展示，如图所示。

（二）、五次曲线的仿真

根据三次多项式进行计算得到的轨迹图像，可以直观地看出三次曲线的位移值和速度值是连续的，但是，在初始时刻和结束时刻的加速度值是不连续的，存在着冲击现象，这是是三次曲线在实际应用中存在不足的地方^[11]。为了使加速度的轨迹连续，以达到消除冲击现象的目的，需要初始时刻的位置值、速度值和加速度值，以及结束时刻的位移值、速度值、加速度值，共有六个条件需要满足，因此使用五次多项式：

设起始时刻为，结束时刻为，总时间为，根据五次多项式，得出五次曲线的位移公式：

对位移公式求导，得出速度公式：

对速度公式求导，得出加速度公式：

对加速度公式求导，得出加加速度公式：

根据所需的条件：初始位置、结束位置、起始速度、结束速度、起始加速度、终止加速度，定义轨迹的总距离，求得五次多项式的系数：

五次曲线相比于三次曲线，由于多项式公式的阶数和系数增加，导致所需的计算量有所增加，但是根据曲线图像可以直观地看出，五次曲线的轨迹相比于三次曲线的轨迹更加稳定，速度曲线也更加平滑，加速度曲线也不存在突变的问题，消除了三次曲线起始和结束的时刻存在冲击的缺点。并且随着多项式公式阶数的增加，需要满足的约束条件也会增加

三、1200PLC仿真效果加程序

直线

直线：

//直线轨迹初始化

//计算执行轨迹所需要的参数

//输入参数

REGION 输入

#P0 := #Param.P0;

#P1 := #Param.P1;

#Vm := #Param.Vel;

#Am := #Param.Acc;

#Jm := #Param.Jerk;

END_REGION

REGION 参数计算

#Pf := ABS(#P1 - #P0);   //到达目标位置所需要的距离

#Tf := #Pf / #Vm;   //到达目标位置所需要的时间

END_REGION

REGION 输出

//

#NoVar := 0;

#Tff := #Tf;

//轨迹参数映射

#ArrA[0] := #Pf;

#ArrA[1] := #Tf;

END_REGION

//直线轨迹生成

//输出对应轨迹值

//输入参数

REGION 输入

//

#P0 := #Param.P0;

#P1 := #Param.P1;

#Vm := #Param.Vel;

#Am := #Param.Acc;

#Jm := #Param.Jerk;

//轨迹参数

#Pf := #ArrA[0];

#Tf := #ArrA[1];

IF #P1 < #P0 THEN

#Vm *= -1;

END_IF;

END_REGION

REGION 生成轨迹

IF #inT < #Tf THEN

//匀速期间

#q_0 := #P0 + #Vm * #inT;   //输出位置

#q_1 := #Vm;                //输出速度

ELSE

#q_0 := #P0 + #Vm * #Tf;

#q_1 := #Vm;

END_IF;

END_REGION

REGION 输出

//轨迹

#NoVar := 0;

#q[0] := #q_0;

#q[1] := #q_1;

#q[2] := 0;

#q[3] := 0;

END_REGION

五次曲线

五次曲线：

//五次曲线轨迹初始化

//计算执行轨迹所需要的参数

//输入参数

REGION 输入

#P0 := #Param.P0;

#P1 := #Param.P1;

END_REGION

REGION 参数计算

#Pf := ABS(#P1 - #P0);

#Tf := #Param.T;

#V0 := 0;

#V1 := 0;

#Acc0 := 0;

#Acc1 := 0;

//

#A0 := #P0;

#A1 := #V0;

#A2 := #Acc0 / 2;

#A3 := (20 * (#Pf) - (8 * #V1 + 12 * #V0) * #Tf - (3 * #Acc0 - #Acc1) * #Tf ** 2) / (2 * #Tf ** 3);

#A4 := (-30 * (#Pf) + (14 * #V1 + 16 * #V0) * #Tf + (3 * #Acc0 - 2 * #Acc1) * #Tf ** 2) / (2 * #Tf ** 4);

#A5 := (12 * (#Pf) - (6 * #V1 + 6 * #V0) * #Tf - (#Acc0 - #Acc1) * #Tf ** 2) / (2 * #Tf ** 5);

END_REGION

REGION 输出

#NoVar := 0;

#Tfff := #Tf;

//轨迹参数

#ArrA[0] := #Pf;

#ArrA[1] := #Tfff;

#ArrA[2] := #A0;

#ArrA[3] := #A1;

#ArrA[4] := #A2;

#ArrA[5] := #A3;

#ArrA[6] := #A4;

#ArrA[7] := #A5;

END_REGION

//五次曲线轨迹生成

//输出对应轨迹值

//输入参数

REGION 输入

#P0 := #Param.P0;

#P1 := #Param.P1;

//轨迹参数

#Pf := #ArrA[0];

#Tf := #ArrA[1];

#A0 := #ArrA[2];

#A1 := #ArrA[3];

#A2 := #ArrA[4];

#A3 := #ArrA[5];

#A4 := #ArrA[6];

#A5 := #ArrA[7];

IF #P1 < #P0 THEN

#A1 *= -1;

#A2 *= -1;

#A3 *= -1;

#A4 *= -1;

#A5 *= -1;

END_IF;

END_REGION

REGION 生成轨迹

IF #inT <= #Pf THEN

//位置

#q_0 := #A0 + #A1 * #inT + #A2 * #inT ** 2 + #A3 * #inT ** 3 + #A4 * #inT ** 4 + #A5 * #inT ** 5;

//速度

#q_1 := #A1 + 2 * #A2 * #inT + 3 * #A3 * #inT ** 2 + 4 * #A4 * #inT ** 3 + 5 * #A5 * #inT ** 4;

//加速度

#q_2 := 2 * #A2 + 6 * #A3 * #inT + 12 * #A4 * #inT ** 2 + 20 * #A5 * #inT ** 3;

//加加速度

#q_3 := 6 * #A3 + 24 * #A4 * #inT + 60 * #A5 * #inT ** 2;

ELSE          //最后的轨迹

//位置

#q_0 := #A0 + #A1 * #Pf + #A2 * #Pf ** 2 + #A3 * #Pf ** 3 + #A4 * #Pf ** 4 + #A5 * #Pf ** 5;

//速度

#q_1 := #A1 + 2 * #A2 * #Pf + 3 * #A3 * #Pf ** 2 + 4 * #A4 * #Pf ** 3 + 5 * #A5 * #Pf ** 4;

//加速度

#q_2 := 2 * #A2 + 6 * #A3 * #Pf + 12 * #A4 * #Pf ** 2 + 20 * #A5 * #Pf ** 3;

//加加速度

#q_3 := 6 * #A3 + 24 * #A4 * #Pf + 60 * #A5 * #Pf ** 2;

END_IF;

END_REGION

REGION 输出

//轨迹

#NoVar := 0;

#q[0] := #q_0;

#q[1] := #q_1;

#q[2] := #q_2;

#q[3] := #q_3;

END_REGION