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使用运放和OTA对DC/DC转换器进行II型和III型环路补偿讲解（原文内容来自TI，原文链接在文末）
摘要
用于频率补偿的误差放大器可以是简单的电压-电压放大设备，即传统的运算放大器。这种运算放大器需要局部反馈（在输出和输入之间）使其稳定。误差放大器也可以是电压-电流放大设备，即gm 运算放大器（OperationalTransconductance Amplifier，OTA）。这是一个没有反馈的开环放大器。本文主要介绍了如何使用运算放大器和OTA 为 II 型和III 型补偿器正确选择补偿极点和零点的位置。
Ⅰ类环路补偿的介绍
在放大电路中给误差放大器添加补偿的目的是抵消控制输出传递函数中包含的一些增益和相位，这些增益和相位可能会影响电源的稳定性。最终目标是使整个闭环传递函数（与误差放大器级联的输出控制）满足稳定性的标准。这是为了避免在增益大于1（0dB）的情况下，闭环相位比期望的相位裕度更接近360°。另外在穿越频率点处的增益曲线斜率为20dB/Dec。相位裕度在45°到60°之间（360°减去总闭环相位滞后）被认为是安全值，能够产生良好阻尼的瞬态负载响应。
图1展示了采用I型配置的传统运算放大器（Op-Amp）的原理图。运算放大器（即传统的Op-Amp）是闭环系统的基础。在反馈系统中，它的功能是放大固定的参考电平与被监测的状态变量之间的误差。
这种运算放大器需要局部反馈（在其输出和输入之间）以保持其稳定。在稳定的直流条件下，两个输入端实际上处于相同的电压水平。这决定了输出电压的设定。然而，虽然分压器的两个电阻都会影响转换器输出的直流电平，但从交流（AC）的角度来看，只有上电阻参与交流分析。因此，下电阻（R4）仅被视为直流偏置电阻，因此我们在控制环路（AC）分析中通常忽略它。
在这种I 型补偿电路中，我们将电容器阻抗 (C1) 除以上部电阻(R1) 得出 H(s) 电阻器(R1)：
图2中展示了一个基于运算跨导放大器（OTA）构建的Ⅰ 型电路。反相引脚上的电压是转换器输出电压（Vo），该电压经过了由R1和R4引起的分压，而放大器输出电压（Ve）是输出电流乘以C1阻抗的结果。
在这种I 型配置中：
与传统运算放大器（Op-Amp）方法相比，最大的变化是分压网络，以及OTA的跨导（gm）参数被引入到了等式中。就Op-Amp中的分压网络而言，由于放大器虚短和虚断的原因，两个引脚处于相似的电位，因此下电阻（R4）的交流分压是不存在的。然而，在OTA中，从Ve到反相引脚不存在局部反馈，因此没有虚短和虚断。因此，我们不能再忽略R4，而且OTA的跨导（gm）参数可能会根据集成电路设计的精细程度而有所不同。
请注意，OTA（运算跨导放大器）模型实际上是最简化的可能模型，即电压控制电流源。更复杂的模型将包括上限和下限电压箝位水平（由控制器的电源提供）以及最大输出电流限制。然而，这些额外组件并不影响整个回路的交流（AC）响应，因此我们仍然可以采用最简单的表示方式。
如果我们使用的是运算跨导放大器（OTA），那么只有反馈电阻的比值才是最重要。例如，我们可以使用1kΩ/5 kΩ的组合，或者使用10kΩ/50 kΩ的组合，以此类推。这些组合都会产生相同的增益（衰减），并且增益-相位图不会改变。然而，如果我们使用的是传统的运算放大器（Op-Amp），那么上反馈电阻（与运算放大器输出端相连的电阻）会影响增益-相位图。如果我们改变这个电阻，将会得到完全不同的增益-相位结果。在这种情况下，即使保持电阻的比值不变，增益-相位图也会发生变化。
在使用传统运算放大器的可调稳压器中，如果我们想要改变输出电压，最好是改变下反馈电阻（与运算放大器反相输入端相连的电阻），同时保持上反馈电阻不变。这样做的话，直流偏置（DC-biasing）会发生变化，但反馈部分的增益-相位（AC）特性不会改变。
二类环路补偿的介绍
使用运算放大器（Op-Amp）的II型补偿器
II型补偿器具有一个原点极点、一个零点以及一个高频极点，能够提供高达90度的相位补偿。图3是Ⅱ型补偿器的模型图，传递函数是通过计算放置在运算放大器反馈路径中的网络所提供的阻抗（Zf），然后将其除以上电阻（R1）来获得的，传递函数为：
确定极点和零点涉及四个分量（R1、R2、C1和C3），极点和零点的位置为：
此时可以通过上述零极点公式计算出C1、C3和R2。
根据极点和零点的位置，图4展示了补偿器的一个例子，该补偿器具有适当的形状，并且通常具有较好的相位裕度。
II型补偿放大器通过增加了一个RC电路通过其频率响应特性来实现增益平坦化，并改善中频范围内的相位响应。通过增加补偿极点和零点之间的分离度来实现相位的增加。
请注意，这种补偿器总是具有相位延迟，因此不能用于改善功率级的相位。因此，II型补偿器不能用于连续导电模式（CCM）中的电压模式控制，因为在谐振频率之后相位会有大幅下降。II型补偿器通常用于电流模式控制补偿，或者用于始终在不连续导电模式（DCM）区域工作的转换器。
使用跨导放大器（OTA）的II型补偿器
我们可以将这个反馈阶段视为三个级联传递函数H1(s)、H2(s)和H3(s)的乘积，如图5所示。它结合了一个极点/零点对以及一个用于实现高直流增益的原点极点，其传递函数为：
如果我们将sR2C1进行因式分解，我们可以很容易地揭示出极点和零点的定义，如下所示：
在这个方程中，我们可以计算出三个相关的项：
在这个方程中，我们可以计算出三个相关的项：
为了提取每个单独的值，我们需要在交叉频率（fc）下导出方程（13）的幅值：
此时可以通过(14)(15)(16)和(17)科技计算出C1、C3和R2。
G表示您在所选交叉频率（fc）下正在寻找的增益或衰减。作为一个设计示例，如果我们需要在10kHz下衰减25 dB，相位提升50度，选择100μs的OTA跨导（同时，R1=40kΩ，R4=25 kΩ），则外部组件（R2、C1和C3）的计算如下：
由于相位在极点与零点之间的几何平均值处达到峰值，所以计算得出零点的频率为：
在给定参数下进行的此次模拟结果如图6所示，结果显示预期的-25dB过渡发生在10KHz处。此外，相位增益也达到了所需的50°。
由于原文中并未介绍（23）（24）（25）的计算方法，所以我花了时间对其进行补充计算公式。
根据以上内容，我们分析一对零极点能提供多少相位裕度，这对零极点什么频率处能提供这么多相位裕度，把G(s)中的1/s拿去，只分析一对零极点，把jω代入s，那么可以得到下面式子：
分子部分是零点的贡献，它表示传递函数的零点在频率ωz,随着ω 增加，这部分的值会逐渐增加，表现出典型的零点行为：高频下，分子的影响增强。
是极点的贡献，它表示传递函数的极点在频ωp。随着ω增加，分母的值也会增加，分子部分是导致传递函数的整体幅值减小，表现出典型的极点行为：高频下，极点会抑制系统的响应。
相位的定义是频率响应G(jω)的复数形式的相位角。为了计算相位，我们分别对分子和分母中的虚数项进行分析。
所以分子部分的相位为arctan(ω/ωz)，分母的相位为arctan(ωp/ω)，这是因为对于复数a+jb，它的相位角是arctan(b/a).
所以中的相位就是：
假设我们希望取其能提高的最大相位，也就是对ω求导：
为了找到相位的最大值，我们将导数设为零：
这个方程不容易直接解出ω，但我们可以通过分析来找到解决方案。当ω^2=ωp×ωz时，两个分母会相等，相加等于0，所以得到：
所以通过上述推导过程可以得到以下式子：
通过上述推导我们可以得到TI给出的公式（24）（25），在Ⅱ型补偿电路中零点和极点的几何平均值时交叉频率和零极点频率的关系。
三类环路补偿的介绍
使用运算放大器（Op-Amp）的Ⅲ型补偿器
图7展示了使用电压运算放大器（Op-Amp）的传统III型补偿。该补偿具有两个极点（fp1和fp2，以及零点处的极点fp0）和两个零点（fz1和fz2）。当需要超过90度的相位增强时，就会使用III型补偿器。通过在II型补偿器中添加另一对极点/零点，III型补偿器理论上可以将相位增强至180度。其传递函数的推导并没有真正改变，这意味着其原理与II型方法相同。
我们需要计算连接在运算放大器（Op-Amp）两端的等效阻抗Zf，并将其除以Zi：
当C1>>C3上述等式成立。
请注意，在确定极点和零点的过程中，所涉及的几个元件起着双重作用。因此，计算可能会变得相当繁琐且需要迭代。但一个合理的简化假设是C1远大于C3。因此，极点和零点的最终位置是：
我们能够根据所需的fp0、fp1、fp2、fz1和fz2选定R1的值，就可以找到所需的C1、C2、C3、R2和R3的值。
基于极点和零点的位置，图8展示了一个具有适当形状的补偿器仿真示例。这种补偿方案在II型补偿器的基础上增加了另一个RC电路。在低频段，有一个积分器，其后跟着一对零点。在这之后，补偿器有一个增益随频率增加而增加的区域，并且这个区域的相位是正的。实际上，补偿器起到了微分器的作用，用于测量电源输出波形的斜率。
在这种情况下，相位提升约为130度，但可以通过进一步分离极点和零点来增加相位提升。然而，不能不考虑对环路增益形状的不利影响而任意增加这种极零点分离。III型放大器是用于连续导通模式（CCM）下的电压模式转换器。
使用跨导放大器（OTA）的II型补偿器
通过在上级电阻R1上并联一个RC网络，我们可以使用运算跨导放大器（OTA）构建一个III型电路。我们还可以将这个反馈阶段可视化为三个级联传递函数H1(s)、H2(s)和H3(s)的乘积，如图9所示。传递函数定义为：
我们知道，运算跨导放大器（OTA）的输出电流取决于其输入端之间产生的电压差。在交流电路中，反相输入端的电压取决于分压电路。因此，我们想要得到的传递函数是：
如果我们将sR2C1进行因式分解，我们可以很容易地揭示出极点和零点的定义，如下所示：
这个表达式可以化为规范形式：
在这个方程中，我们可以计算出三个相关的项：
根据这些数值，我们需要提取出设计表达式，以便我们计算无源元件的数值。首先，我们需要求出在选定截止频率下G的幅值。
此时a,b,c,d的式子是：
通过（47）-（49），我们能够得出R2, R3, C1, C2和C3:
在使用运算跨导放大器（OTA）设计的III型补偿器示例中，如果我们想稳定一个从2.5V参考电压获得的12V电源，那么输出电压与参考电压之间的比值就是12/2.5，即4.8。为了获得12V的输出电压，我们设定电阻R1为38kΩ，电阻R4为10kΩ。此外，补偿器中的极点（fp1）和零点（fz2）之间的距离（或者说它们的位置关系）需要被控制在不超过4.8的范围内。
当确定交叉频率时，重要的是要确保在该频率点上能实现可能的最大相位提升（一般不超过150度）。举例来说，如果我们设定交叉频率为1 KHz，并期望在该点实现130度的相位提升，此时环路就需要提供15 dB的增益。
我们可以得到相对于交叉频率fc的第一个零点位置和第二个极点位置：
我们知道，第二个零点与第一个极点之间的距离必须小于4.8（为安全起见，我们采用4.5）。相对于1kHz的交叉频率，它们必须被放置在以下位置：
通过对（47）到（59）的方程式进行计算，我们得出了运算跨导放大器（OTA）周围无源器件的以下数值：
C1= 14.7 nF, C2 = 9.2 nF, C3 = 113.5 pF, R2 = 123.9 kΩ, R3 = 50 Ω
运算跨导放大器（OTA）并不像运算放大器（Op-Amp）那样提供相同的设计灵活性。然而，集成电路（IC）设计师喜欢这种结构，因为它所需的半导体芯片尺寸很小。由于没有虚拟地，下侧的分压电阻会进入方程式，在推导极点和零点位置时需要特别注意。在III型配置中，输出电压与参考电压之间的比例关系可能会妨碍第二个零点（fz2）和第一个极点（fp1）的位置确定。这意味着，如果我们将第一个极点固定在某个频率上，第二个零点的位置就会自动确定。它们不是独立的。因此，在使用这个极点和零点时，灵活性并不大。这种补偿器的相位提升是必需的，用以补偿功率级谐振频率之后出现的急剧相位下降。
总结
运算放大器（Op-Amp）需要局部反馈（在其输出和输入之间）以保持其稳定性，并且可以通过多种不同的方式连接以用于控制环路设计。在运算放大器应用中，下部的电阻（R4）不影响增益-相位图，而上部的电阻（R1）会改变增益-相位的结果。在带有运算放大器的可调稳压器中，如果我们想改变输出电压，最好是改变下部的反馈电阻，同时保持上部电阻不变。此外，误差放大器可以是电压-电流放大器件，即跨导运算放大器（OperationalTransconductance Amplifier, OTA）。这是一个没有局部反馈的开环放大级。对于OTA，R1和R4都参与交流分析，并且要注意，只有反馈电阻的比值才是重要的。II型补偿方案增加了一个RC电路来平坦化增益并改善中频范围内的相位响应。II型补偿器通常保留用于电流模式控制补偿，因为它不能用于改善功率级的相位。III型补偿方案在II型补偿器的基础上再增加了一个RC电路，是用于补偿工作在连续导电模式（CCM）下的电压模式转换器的补偿器。请注意，与带有运算放大器的补偿器相比，带有OTA的III型补偿器在设计灵活性方面并不相同，因为输出电压与参考电压之间的比例关系可能会妨碍第二个零点和第一个极点的位置确定。
正文结束
上周突然看到了TI的这篇文章写的很有价值就学习了一下，花了一周多研究了个七七八八，涉及到的知识太多了。TI不愧是电源芯片大厂，资料也比其他公司多，就是里面讲得太简洁了，知识存储不够看着太费劲了。
原文是全英文，很多地方不知道该怎么翻译，有兴趣的要对照原文阅读，本身我英文也一般，就是在学习的过程中做个记录，将来遇到问题能够辅助解决问题。
文中目前还有很多知识我没搞明白，例如（23）（65）（66）（67）（68），如果有幸看到此文，懂这块内容的大佬，指导指导小弟。
昨天突然有人问到我电源的CCM（连续导通模式）和DCM（不连续导通模式），设计到我们知识盲区了，下篇文章就研究研究这个问题。
DCDC电源学问真的太大了，感觉自己在电源面前像个小白一样。怪不得做硬件工程师的不是头秃，就是满头白发，看来要好好爱护自己的头发了。 |
